オイラー の 法則。 『正多面体の面・辺・頂点の数』一覧表と『オイラーの公式』

第4話 オイラーのベルト理論

オイラー の 法則

はじめに この数学者の評価をできる人なんているのか? 数学者、レオンハルト・オイラーは年間平均800枚の論文を発表していたと言われています。 これは普通の数学者が一生かかる量です。 彼はそれを毎年、50年以上も続けていました。 まさに呼吸をするかように数学を吐き出してきた伝説の数学者レオンハルト・オイラー。 またオイラーは59歳で全盲になります。 しかし、そのほうが数学に集中できたといいます。 そして76歳で没するまでの17年間も変わらない量の論文を生み出しました。 全盲の間は計算は全て頭の中だけで行っていたわけですから、その暗算能力は計り知れません。 さらには1907年から刊行が始まったオイラー全集。 これがまたとんでもないもので、既に70巻を越えるものの、100年以上かかっても未だに完結していません。 論文は、刊行部分だけで5万枚を越えています。 その膨大な業績ゆえに、新たに発見された公式が実はオイラーの発見の再発見に過ぎないということがしばしば起きています。 表題の答えは「誰も評価できない」し「誰も全てを理解できない」です。 生涯の5万枚以上におよぶ論文を読んで理解するだけでも、それは常人も数学者にも不可能といえるでしょう。 ただし「利用」は可能です。 また現代数学でも利用しています。 高校生が普通に習う内容に、彼の業績はたっぷり利用されています。 数学に苦手意識のある人は、彼のせいで苦しんだのかと恨んでもいいと思います。 わたしたちにもできそうなのは、彼を「天才」という称号で祭り上げて、利用するところは利用して、全体像は自分とは関わりのない部屋に隔離してしまうことだけでしょう。 オイラーの名を冠した数学用語、物理用語の数々 すなわち彼の論文は、量だけではなく、質も高いものでした。 その証拠に、数々の数学用語や物理用語に今もオイラーの名前が数多く残っています。 オイラーは。 音楽で言えば、バッハの緻密さとモーツァルトの多産性とベートーベンの破壊力わ合わせたような存在と言えるでしょうか。 伝説の数学者 評価も完全な理解もできないなら、生涯を記してみましょう それではと思って、生涯を調べてみました。 結果はざっくり言えば大学で数学や物理の研究をしていました、で終わってしまいます。 まとめとして 物理学・力学を、数式化したことが、オイラーの最大の業績ではないでしょうか。 いや、まだまだ未発表、未発見の論文があるかもしれない現時点で、早計に業績を語るのはおかしいかも知れませんが。 まず、ニュートン力学の基本公式を初めて数式として書き下したのはオイラーでした。 生前のニュートンはその発見・業績の全てを幾何の言葉で述べていたのでした。 ニュートンの死後、オイラーはニュートンの物理学を幾何から数学的解析に翻訳し、その道具を手に、次々と物理の問題を解決していきました。 これが大きなきっかけとなり、変分法、剛体力学、流体力学、音響学、航海術、船舶の設計。 さらに大変な、とても難解な式変形を必要とする月の運動の理論、今で言う三体問題(太陽と地球と月)、に史上初めて計算可能な近似解を与えたのは、視力を失った後のオイラーだったのです。 おそろしく複雑な計算を全て暗算で行ったのでした。 このような数理物理学のほか、解析学、数論、幾何学、関数概念の導入などなど、大半の数学的分野に大きな足跡を残しています。 稚拙なたとえ話で締めくくりましょう。 アルプスでは明治期にいろいろな人が初登頂して、いろいろなコースを切り開きました。 わたしたちは現代、そのルートを利用して、比較的安全にそして楽に登山することができます。 これは何百人もの人が長い年月をかけて、様々なルートを拓き地図を作り上げたおかげです。 数学において、その何百人に相当する大偉業を、たったひとりでできた人、それが大天才レオンハルト・オイラーだったと言えるでしょう。

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『正多面体の面・辺・頂点の数』一覧表と『オイラーの公式』

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例えば、正の偶数を数式化したいとき、次のようにすればよいでしょう。 これが数式化することのメリットです。 しかし、素数にはこのような数式が存在しません。 ですので、新しい素数を知りたいと思っても、すぐには知ることができないのです。 なので、新しい素数が見つかると、一大ニュースとして大きく取り扱われるのです。 それほど、素数は気まぐれで、神秘的な数なのです。 素数の不思議な性質については、 も合わせてご覧ください。 過去の偉人たちが挑戦した素数の数式化 素数は昔から神秘的な数とされ、多くの数学者たちが研究してきました。 その中で、素数の法則を見つけようとする試みも行われてきましたが、すべての素数をつくる式どころか、一部の素数だけを作る式すら見つかっていません。 ここでは、過去の偉大な数学者たちがどのような式で素数を表そうとしたのかを紹介します。 これ以外にも素数の式を考案しましたが、この式はその中の一つです。 さすがはオイラーです。 いま注目されている素数の法則を表す式 ここまで見てきたように、すべての素数を作る式や、一部の素数だけを作る式は、いまも作られていません。 素数を数式化することは不可能のような気がしてきますね。 ところが、2つの素数を見つけた人物が、大きい方の1332桁の素数を先に印刷したため、小さい方の1281桁の素数は一度も最大の素数として脚光を浴びることはありませんでした。 もしかすると、素数の数式化も夢ではなくなるかもしれません。 まとめ• 素数が登場する順番に法則はない• 歴史上の偉人達が素数の数式化に挑戦してきたが、未だに成功していない• メルセンヌ数は今後の素数の発見に役立つと期待されている• 今後の素数分野の研究に期待!.

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万有引力(ガリレイ、ケプラー、ニュートン、オイラー)

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冒頭、いきなりの問題で恐縮しますが、ここは1つ読者諸氏にお付き合い願います。 読者が今、超満員の電車に乗っているとしましょう。 しかも、10㎏ぐらいの重い中身の入った手提げ袋を片手で持ち、もう一方の片手で吊り輪を持って立っているとします。 重たくて手提げ部分の紐が指に食い込んでいます。 不幸にも立っている位置の前には網棚はありません。 こんなとき、読者が少しでも楽になろうと思えばどうしたらよいでしょうか。 もちろん、前に座っている人の膝の上に置いたりしてはいけないことは言うまでもありませんが、自分の膝が座っている人の膝とぶつかるほどのぎゅうぎゅう詰めのため、足元に置くスペースもありません。 レオンハルト・オイラー(L. それは簡単な1階の微分方程式からなり、その解は次の式のようになっています。 この式はベルトの一端を T 0 の大きさの力で引っ張っているとき、ベルトがすべるまで他端を引っ張るには T 1 の大きさの力が必要ということを物語っています。 小中学校の理科で出てくる滑車の問題では T 1 = T 0 となっていますが、これは摩擦を考慮していないからです。 少し、具体的な計算をしてみます。 実はこの現象をうまく利用した場面をわれわれは身近に見ているのであります。 まず、西部劇の映画でよく見るシーンがあります。 馬に乗って街にやって来たカウボーイたちが酒場に入る前にまず、馬をつないでおくため横棒に手綱をぐるぐると2、3回まわしただけでバーに入ってく場面がありますね。 この時、いつも手綱を横棒に結ぶ姿など一度も見ないでしょう。 前の数値例で分かるとおり、2、3回も手綱を巻かれると馬の力といえども逃げられないのです。 もっと劇的な場面は大型船舶を岸壁に繋ぎ止める舫綱(もやいづな)です。 何万トンもある大きな船が数巻きの舫綱で止められるのも、上の理屈のおかげなのです。 ところで、このベルト理論は工学問題でも結構利用されています。 筆者が若い頃、専門としていた橋梁分野ではこんな例がありました。 吊橋におけるケーブルを支えるタワーの塔頂部にあるサドル上のケーブルのすべり問題がありました。 スペーサで挟まれた何層もあるサドル上のケーブルのすべり問題を数値解析していて、なかなか苦労した覚えがあります。 実は筆者が初めてベルト理論を使用したケースでした。 同じく橋梁分野の最近の問題では、プレストレスト(PC)コンクリート橋梁で使用されるPC ケーブルによる腹圧計算があります。 PCケーブルを挿入するシースが円弧状の曲線になっている場合、オイラーのベルト理論のご厄介になることになります。 流行の有限要素法を利用しているPC 橋梁設計者も、この計算には難儀していることが想像できます。 何本もあるPCケーブルのラインに合わせてメッシュを切ることは現実にはできないことですね。 手前味噌で恐縮しますが、筆者は最近、煩雑な腹圧計算をメッシュ模様に関係なく楽に設定できるプログラムを開発してみました。 さて、冒頭の問題の答えでありますが、ここまで読んでこられた読者はもう答えはお分かりのはずでしょう。 手提げ袋のひもを吊り輪の中を通して滑車のロープのように使えばいいのです。 吊り輪は大抵プラスチックでできているので滑りやすい。 1として計算してみましょう。 37となります。 だから、逆に10㎏の荷物は約7. 3㎏で支えられる計算となります。 もちろん、もっと巻いてしまえば非常に楽になるというわけです。 話を終わるに当たって、是非、工学系の読者に一読をお勧めしたい本があります。 著者はこの分野の第一人者であった曾田範宗さんです。 筆者が今まで読んできた数理エッセイの本の中でランキングをつけたとしたら、トップクラスと言い切れる本でもあります。 2001年1月 記.

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