ベルヌーイ の 定理。 【機械設計マスターへの道】流体力学の基礎知識③ 連続の式とベルヌーイの定理

ヨハン・ベルヌーイ

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ベルヌーイの定理の一般論 Next: Up: Previous: 一般の流体では流体の流速が一様でないときに、内部摩擦によって 境界面にずり せん断 による抵抗力が働き相対速度を減らそうとする。 この性質を粘性という。 流体の入っている容器を回転させると流体も次第に 回転し始めて、また容器を静止させると流体も次第に速度を失うのは粘性の 影響である。 しかし、その一方で空気の様に極めて粘性の低い流体もある。 そこで割り切って粘性を完全に無視すると著しく取扱が簡単になり、かつ様々な 現象を説明することが可能になった。 こういった流体を完全流体と呼ぶ。 ベルヌーイの定理の本質はエネルギーの保存である。 粘性を考慮すると エネルギーが保存しないので、 対象は完全流体、すなわち粘性の入っていない流体である。 まず重力下の質点 質量 m のエネルギーの保存を思い出そう。 質点の速さを vとすると.

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ベルヌーイの定理とは?ベルヌーイの定理の問題を解いてみよう【演習問題】

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今回のコラムでは、三次元空間を自由に流れて、その状態が場所や時間とともに変化する複雑な流体の運動を簡素化することで、工学的な問題の解決に実用的に適用することができる手法について解説します。 1.流れの状態 三次元性があって、しかも時間とともに変化する流れを関数で表すためには、位置x,y,zと時間tの4変数が必要で、速度もX,Y,Zの3方向成分で考える必要があります。 コンピュータの演算能力が向上したとはいえ非常に複雑な数値計算となって膨大な時間がかかり現実的ではありません。 管内の流れなど多くの場合は、図1のように軸方向sにそって、管路断面積や流れの方向が緩やかに変化するとみなすことができます。 この場合は、軸方向に垂直な流れを無視して、軸方向sに沿う平均流速vで代表し、位置sと時間tの関数として簡素化して表すことができます。 理論上の扱いが簡単で、実用的な設計計算に広く用いられます。 流れを時間的に分類したとき、時間とともに状態が変化する流れを「 非定常流」、変化しない流れを「 定常流」といいます。 定常流の場合、平均流速は次式で表され、位置のみの関数となります。 図2に概念を示します。 流管に対して 質量保存則を適用します。 質量保存則とは物質の体積が変化しても系全体の質量の総和は一定となる法則のことです。 流管内の中心にある流線に沿って座標sを設け、微小長さdsの微小要素を考えます。 位置sと時間tは互いに独立な変数であることから流管における質量保存則は次の式で表すことができます。 定常流の場合、時間tとともに流れが変化しないことから(3)式は左辺第2項のみとなり、位置sで積分すれば次式の関係が得られます。 (4) Qmは、流管微小要素断面を通過する単位時間当たりの質量を表し、質量流量とよばれます。 (5) となります。 (4)、(5)式を 定常流に適用される連続の式といいます。 連続の式は粘性のある流体にも適用することができ、管路や流体機器内の多くの流れに実用的に利用されます。 3.ベルヌーイの定理 ある流管内を流れる流体が保有する機械的エネルギには、運動エネルギ、位置エネルギおよび圧力エネルギがあります。 位置に関して基準水平面からの高さをz、圧力をp。 とすれば、非圧縮性であって、粘性による摩擦損失などのエネルギ損失がない理想流体の場合、エネルギ保存の法則から次式の関係が成り立ちます。 (7) (7)式の各項は単位質量当たりの流体の持つエネルギを表し、これは理想流体の定常流において、流管に沿う任意の点におけるエネルギの総和は一定に保たれることを示すものです。 (8) と書き換えることができます。 これが「 ベルヌーイの定理」(または「ベルヌーイの式」)と呼ばれるものです。 (8)式左辺第1項は、単位体積当たりの流体が持つ運動エネルギで、 動圧とよびます。 第2項は圧力エネルギで 静圧とよびます。 第3項は、単位体積当たりの流体の持つ位置エネルギを表します。 (9) となります。 すなわち動圧と静圧の和は一定となることを示し、 動圧と静圧の和を全圧といいます。 左辺第1項を「速度ヘッド」、第2項を「圧力ヘッド」、第3項を「位置ヘッド」、これらの総和を「全ヘッド」といいます。 ヘッドは長さの単位 m を持ちます。 この関係を、図4 a のように管路にマノメータを取付けたときの様子で理解することができます。 実際の流れにおいては、流体の有するエネルギは、粘性による摩擦などのために一部が熱エネルギに変換されるので、外部からのエネルギ補給がない限りは図4 b のように流れに沿って全ヘッドは減少していきます。 流速vは管路断面積で決定され、位置エネルギzは管路配置で決定されますので、エネルギ損失の分だけ、圧力pが減少することになります。 このため管路におけるエネルギ損失を 圧力損失(圧損)ともいいます。 なお気体のような圧縮性流体の場合には、密度変化の影響を考慮する必要があります。 比熱や気体の状態変化など熱力学に関する知識が必要となりますが、本コラムでは省略します。 水や油など非圧縮性の液体に関しては、本コラムで紹介した連続の式やベルヌーイの式を、粘性を含めて工学的な課題の解決に利用することができますので、ご活用ください。 次回の連載コラムでは、流体力学シリーズの続きとしてについて解説します。 (日本アイアール株式会社 特許調査部 S・Y <参考文献>•

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ベルヌーイの定理とは?ベルヌーイの定理の問題を解いてみよう【演習問題】 当サイトでは、リチウムイオン電池をメインテーマとして各種解説をしていますが、リチウムイオン電池だけでなく、製造業において化学工学の知識は不可欠です。 例えば、としては、する際の撹拌する力や与えるエネルギーの設計、電極スラリーを混練したあとの電極基材へ塗布した後のコーターでの乾燥条件の設計などに化学工学の知識が必要になる場合があります。 ここでは、化学工学における基礎技術である移動操作(流体)の中でも重要な式であるベルヌーイの式について解説していきます。 ・ベルヌーイの定理・式とは? ・ベルヌーイの定理を用いた計算問題を解いてみよう【演習問題】 というテーマで解説しています。 ベルヌーイの式・定理とは? ベルヌーイの定理とは、流体が配管内などを流れる際の機械的なエネルギーの保存則のことを指し、配管内でのエネルギー損失の考察などの配管設計をするための基礎式として非常に重要な定理です。 ベルヌーイの定理を表す式は以下の通りです。 高い位置を位置1とし、低い位置を位置2とした場合の、1における圧力、流速、高いをp1,v1,z1とします。 同様に、2における圧力、流速、高いをp2,v2,z2とします。 次に、このベルヌーイの式の導出方法について解説していきます。 次に、位置1と2における運動エネルギーと位置エネルギーの変化について考えていきましょう。 以下のように運動エネルギーと位置エネルギーが表すことができます。 そして、これらのエネルギー変化量は、流体の圧力差による仕事の差に一致します。 流体の仕事差は以下のようにあらわされます。 ベルヌーイの定理・式の導出は化学工学において重要ですので、きちんと理解しておきましょう。 関連記事 ベルヌーイの式・定理を利用した計算問題を解いてみよう!【演習問題】 ベルヌーイの式・定理を利用して求める問題はいくつかあり、代表的なものにトリチェリの定理の導出問題やピトー管における流速を求める問題などが挙げられます。 ここでは、まずトリチェリの問題中でベルヌーイの式を使用する例題を解説していきます。 有名な問題であり右に位置する小さな穴から出る水の流速を考えていきましょう。 基本的に定常状態とみなして問題を解きます。 具体的な求め方は以下の通りです。 ベルヌーイの式に各値を代入しましょう。 各々の分圧は大気圧p0で一定、上面では速度はほぼ0と近似すると、結局残る項は位置の項と、右側から出る水の速度そのものといえます。 整理すると以下の式が導出され、この式をトリチェリの式、定理とよびます。 関連記事.

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