フィボナッチ数列 例。 ひまわりに隠されたフィボナッチ数列と黄金比

フィボナッチ数からつくる最も美しい螺旋

フィボナッチ数列 例

自然界で見られる「フィボナッチ数列」 ハンク・グリーン氏:数学というものは、アメリカの大学生をいじめるために考案されたのではありません。 自然界におけるちょっとした事柄、身の回りのあちこちで目にするものなのです。 例えば実際に、自然界にいつでも見られる特別な数列、「フィボナッチ数列」と呼ばれる一連の数があります。 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、というふうに続いていく数列ですね。 もしかしたらこのパターンに見覚えがあるかもしれません。 最初の数字と2番目の数字が足しあわされて3番目の数字になり、2番目の数字と3番目の数字が足しあわされて4番目の数字になり、4番目の数字と5番目の数字が足しあわされて6番目の数字になる、という具合に続いていきます。 この数列は1,300年ほど前に、インドの数学者が書物に記しました。 西欧社会に姿を見せたのは1202年にピサのレオナルド、通称フィボナッチがその書物を紹介してからです。 こうしてアラビア数字がヨーロッパに導入されなければ、私たちは今でもローマ数字を使っていたかもしれません。 考えただけでぞっとしますね。 数学者だったフィボナッチは、自著『算盤の書』のなかで、近親相姦を行っていくウサギたちを例にとってフィボナッチ数列を説明しています。 オス・メス1匹ずつをつがいにすれば2匹です。 2匹が子供を産んで3匹になり、その3匹で子供を産めば5匹になっていく……そういった内容です。 しかし、フィボナッチ数が自然界において顕著に見られるのは、ウサギではなく植物なのです。 植物に潜むフィボナッチ数列 バナナを切ってその断面を見ると、3つの領域に分かれています。 リンゴなら5つです。 どんな花であったとしてもその花びらは、3、5、8、13、21枚になっています。 ヒマワリの種や松ぼっくりのかさの並びにもフィボナッチ数列が潜んでいます。 植物たちはなにか神秘的な、意思がはたらいたようにこの法則に則って成長するのです。 これによって、限られたスペースにできるだけ多くの種をしまえるのです。 この話を詳しく知りたい人は、Vi Hartのビデオをごらんください。 (YouTubeの)概要欄にを貼っておきますね。 フィボナッチ数そのものだけではなく、フォボナッチ数同士の比率も潜んでいます。 適当なフィボナッチ数をその1つ前の数字を割ってみると、とくに大きな数字であれば、1. 618……とどこまでも続いていく値が得られます。 フィボナッチよりはるか昔のギリシャでは、これを「ファイ」とよんでいました。 今日では、「黄金比」としても知られています。 伝承によると、古代ギリシャの彫刻家ペイディアスが、肉体の成熟さを表現するために用いたとされています。 例えば、彫刻全体の身長と、足からへそまでの長さの比に用いたと言われています。 ほかにも顔の長さを幅で割った値もそうです。 自然界にはこうしたパターンがほかにも数多く見られますが、そのなかには「黄金長方形」に基づくものもあります。 黄金長方形は連続した数字の長方形を埋め込んでいくことができます。 各正方形の対角同士で弧を描いて得られるらせんは、自然界に数多く見られるらせんとよく似ています。 砂漠の多肉植物が葉を開いた様子、松ぼっくりのかさの並び方、ヒマワリの種、オウムガイの殻。 数学というものは、本当に美しいですね。 SciShow Hank Green(ハンク・グリーン)たちがサイエンスに関する話題をわかりやすく解説するYouTubeチャンネル。

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フィボナッチ数列

フィボナッチ数列 例

フィボナッチ数列の概要 フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の関係は以下になります。 自然界にもそんなことがあるのかと思うかもしれませんが、実はうまいことなぜかなっているんですよね。 ヒマワリの種の配置がらせん状に「21, 34, 55」というフィボナッチ数列になっています。 他にも、自然界のフィボナッチ数列は「花びらの数」など様々あるので気になる人は調べてみましょう。 黄金比 一番美しい比率といわれているものです。 あの有名なヴィーナスの像をはじめ、日常生活でも大いに役立っておりイコカや運転免許証の比率についても黄金比というものが使用されているんです。 こちらの比率に関しては1:1,614・・・という風になっていますが厳密には平方根の混じった式になるので少々面倒です。 C言語によるフィボナッチ数列 C言語での フィボナッチ数列の組み方 先ほどやった フィボナッチ数列の一般項を基にどういう風に考えていくのかを見ていきましょう。 ところで再帰関数とは何なのか?再帰関数のプログラムの書き方を忘れたいう人は以下のリンクより復習してみてください。 フィボナッチ数列では再帰関数を主に使っていく処理をしていきました。 再帰関数ですが、while文に書き換えることができますがやはり長いコードになってくるとwhile文より再帰関数のほうがよく使用されるというイメージです。 再帰関数の部分を今回は深く触れていませんが、以下の記事できっちり使い方やサンプルコードを紹介しているのでぜひ参考にしてみて下さい。

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フィボナッチ数列

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おもしろ数学講座 芸術・自然と数学の融合 さて、みなさんは「黄金比」、「フィボナッチ数列」という言葉をお聞きになったことがあるでしょうか?この言葉をご存じなくても、私たちの身の回りには結構この2つの要素をもった物がころがっているので、どこかで一度はご覧になったことがあると思います。 このページをお読み頂くことによって、それ以前には何とも思わなかったような物が、興味深い物として目に映ることをご期待しまして、この不思議な数の世界へご招待致したいと思います。 【 黄金比(黄金数)について】 タバコのパッケージ 細長くない方のもの やマンガ本、テレホンカード、クレジットカード、名刺など、すぐに取り出せるもので結構ですから、ちょっと目の前に並べてみてください。 よくみるとどれも(大きさは違うけれども)同じ形であることに気づかれることと思います。 さて、右図をご覧ください。 長方形ABCDから正方形AEFDを取り去った残りの長方形BCFEが、もとの長方形ABCDと(大きさは違うが)同じ形になっています。 このとき、 長方形ABCDと長方形BCFEは相似であるといいます。 2つの四角形の相似比を利用して、図中のように計算をした結果、おおよそ AB:AD=8:5 になっていることがわかります。 この長方形のことを 「黄金長方形」、またこの比のことを 「黄金比」といいます。 現在のもっとも有力な説は、19世紀に入ってからの比較的最近のことではないかといわれています。 オーム(M. Ohm)が1835年に出版した『「純粋初等数学』のなかに「Goldene 黄金 」という言葉がでてきますので、彼が名付け親かもしれません。 Smithの『数学の歴史』第2巻による 「黄金比」はヨーロッパでは古くから最も美しい長方形として親しまれてきました。 右図のように、ルーブル美術館に所蔵のミロのビーナス、パリの凱旋門、ギリシャの遺跡パルテノン神殿でこの「黄金比」が利用されています。 これら以外にも前述のテレホンカード等の他、画家アングルが描いた「泉」という作品など色々なところに「黄金比」が見られます。 さて、このように黄金比は芸術や建築の世界において多数見出されるとともに、フィボナッチ数列と深い関わりがあるのです。 それでは、今度はフィボナッチ数列についてご紹介していきましょう。 ちなみにハンバーガーで有名なマクドナルドのMc(マック)も息子という意味です。 また、 数列とは「ある一定の規則にしたがって並んだ数の列」のことです。 例えば 2,5,8,11,14,・・・のように はじめの数に同じ数を次々と加えていってできる数列(等差数列) 2,4,8,16,32,・・・のように はじめの数に同じ数を次々と掛けていってできる数列(等比数列) など、その他色々な数列が存在します。 さて、それでは話を進めていきましょう。 この15章からなる『算術の書』の中に、次のような問題があります。 『1対の子ウサギがいる。 子ウサギは1ヶ月たつと親ウサギになり、その1ヶ月後には1対の子ウサギを生むようになる。 どの対のウサギも死なないものとすれば、1年間に何対のウサギが生まれるか。 』 この問題を考えるのに、下図を利用してみましょう。 対の数は順に 1,1,2,3,5,8,13,21,34・・・となっています。 さて、この数列はどのような規則にしたがって並んでいるのでしょうか? 答えは 「隣り合う2つの数を加えると、次の数に等しくなる」という規則をもった数列です。 また、この数列の隣り合う2つの数について比の値をつくってみます。 5 1. 666・・・ 1. 6 1. 625 1. 615・・・ 1. 619・・・ ・・・ 2数の比の値をご覧いただいたときに、何かお気づきになられましたでしょうか?ある値に近づいているのですが、その値こそまさしく「黄金比」なのです。 さて、このフィボナッチ数列は自然界に多くみられます。 その例として 1:「花の花弁の枚数が3枚、5枚、8枚、13枚のものが多い」 2:「ひまわりの種の並びは螺旋状に21個、34個、55個、89個・・・となっている」 3:「植物の枝や葉が螺旋状に生えていくとき、隣り合う2つの葉のつくる角度は円の周を黄金比に分割する角度である」などがあります。 右図はまつぼっくりを松の枝にくっついている側から見た図です。 まつかさは螺旋状に並んでいて、右回りに数えると 8個ずつ、左回りに数えると 5個ずつになっていることがわかります。 もっと小さなまつぼっくりであれば、 5個と 3個になっているときもあります。 このように、まつかさの配置のなかにもフィボナッチ数列がかくれているのです。 その他、ここではHPの容量の制約上割愛させて頂きましたが、 「モールス信号で使用するモールス符号の生成」にはフィボナッチ数列の考え方が非常に有効ですし、高校で履修する「2項式のn乗の展開」で出てくる 「パスカルの三角形」の中にもフィボナッチ数列が隠れています。 もし、御興味を持たれた方がいらっしゃいましたら、誠に申し訳ありませんが図書館などで関連文献をお調べになって下さい。 それでは最後にフィボナッチ数列を利用した面積のパラドックスの問題をご紹介致しましょう。 !! 図1の正方形をAからDに分割して図2のような長方形に並べかえたとします。

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